题目内容
【题目】已知.
(1)若方程在
上有实数根,求实数
的取值范围;
(2)若在
上的最小值为
,求实数
的值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】【试题分析】(1)令,将其化为
,构造函数
,利用导数研究函数的单调性与极值,结合图象可求得
的范围.(2)对
求导,然后按
分类讨论函数的单调区间,结合最小值可求得
点的值.
【试题解析】
(1)方程可化为
,
令,则
,
由可得
,由
可得
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
∴的极小值为
,
而,
,则
,
由条件可知点与
连线的斜率为
,
可知点与
连线的斜率为
,而
,
结合图像可得时,函数
与
有交点.
∴方程在
上有实数根时,实数
的取值范围是
(2)由可得
,
①若,则
在
上恒成立,即
在
单调递减,
则的最小值为
,故
,不满足
,舍去;
②若,则
在
上恒成立,即
在
单调递增,
则的最小值为
,故
,不满足
,舍去;
③若,则
时,
;
时,
.
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
∴的最小值为
,
解之得,满足
.
综上可知,实数的值为
.
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