Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=4，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，求|$\overrightarrow{c}$|最大值．

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$ 和 ${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$ 的值，化简所给的等式可得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=4-${\overrightarrow{c}}^{2}$，要使|$\overrightarrow{c}$|最大，只要（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$ 最小，可得 $\overrightarrow{c}$=-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），由此求得|$\overrightarrow{c}$|最大值．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2×4×cos60°=4，∴${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=4+8+16=28．
由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=$\overrightarrow{a•}\overrightarrow{b}$-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$-${\overrightarrow{c}}^{2}$=0，即 （$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=4-${\overrightarrow{c}}^{2}$，
要使|$\overrightarrow{c}$|最大，只要4-${\overrightarrow{c}}^{2}$ 最小，即（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$ 最小，∴$\overrightarrow{c}$=-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
故|$\overrightarrow{c}$|最大值为|-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）|=$\sqrt{28}$=2$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．