题目内容

12.设函数f(x)=ax-lnx,g(x)=ex-ax,其中a为正实数.
(l)若x=0是函数g(x)的极值点,讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)在(1,+∞)上无最小值,且g(x)在(1,+∞)上是单调增函数,求实数a的取值范围.

分析 (1)通过g′(0)=0,求出a的值,从而求出f(x)的表达式,进而求出函数f(x)的单调区间;(2)分别求出满足f(x),g(x)的a的范围,取交集即可.

解答 解:(1)g′(x)=ex-a,由g′(0)=1-a=0得:a=1,
∴f(x)=x-lnx,f(x)的定义域为:(0,+∞),
∴f′(x)=1-$\frac{1}{x}$,
令f′(x)>0,解得:x>1,令f′(x)<0,解得:0<x<1,
∴函数f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1);
(2)由f′(x)=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$,
若0<a<1,则f(x)在(1,+∞)上有最小值f(a),
当a≥1时,f(x)在(1,+∞)单调递增无最小值
∵g(x)在(1,+∞)上是单调增函数,
∴g′(x)=ex-a≥0在(1,+∞)上恒成立
∴a≤e,
综上所述a的取值范围为[1,e].

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道中档题.

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