Question

9．下列四个结论：
①若x＞0，则x＞sinx恒成立；
②命题“若x-sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x-sinx≠0”；
③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；
④命题“?x∈R，x-lnx＞0”的否定是“?x₀∈R，x₀-lnx₀≤0”．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 令f（x）=x-sinx，利用导数分析其单调性，可判断①；写出原命题的逆命题，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；写出原命题的否定，可判断④．

解答 解：令f（x）=x-sinx，则f′（x）=1-cosx≥0恒成立，
故f（x）=x-sinx在R上为增函数，故x＞0时，f（x）＞f（0）=0，
即x＞sinx恒成立，故①正确；
命题“若x-sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x=0，则x-sinx=0”，故②错误；
“命题p或q为真”时，“命题p且q为真”不一定成立，
“命题p且q为真”时，“命题p或q为真”成立，
故“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的必要不充分条件，故③错误；
④命题“?x∈R，x-lnx＞0”的否定是“?x₀∈R，x₀-lnx₀≤0”，故正确．
其中正确结论的个数是2个，
故选：B

点评 本题考查的知识点是全称命题的否定，四种命题，复合命题，函数的单调性，难度中档．