Question

17．已知函数f（x）=log₂x-1的定义域为[1，16]，函数g（x）=[f（x）]²+af（x²）+2
（1）求函数y=g（x）的定义域；
（2）求函数y=g（x）的最小值；
（3）若函数y=g（x）的图象恒在x轴的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由抽象函数的表达式可得：x∈[1，16]，x²∈[1，16]，函数y=g（x）的定义域为[1，4]；
（2）令t=log₂x，t∈[0，4]，可构造函数y=g（t）=t²+（2a-2）t-a+3=（t+a-1）²-a²+a+2，分别讨论对称轴-a+1，得出函数最小值表达式；
（3）在（2）的基础上，分别令最小值大于零，求出a的范围．

解答 解：（1）由抽象函数的表达式可得：
x∈[1，16]，x²∈[1，16]，
∴函数y=g（x）的定义域为[1，4]；
（2）y=g（x）=[f（x）]²+af（x²）+2，
令t=log₂x，t∈[0，2]，
g（x）=G（t）=t²+（2a-2）t-a+3=（t+a-1）²-a²+a+2，
当-a+1＜0即a≥1时，g（x）_min=g（0）=-a+3；
当-a+1＞2即a＜-1时，g（x）_min=g（2）=3a+3；
当2≥-a+1≥0即-1≤a＜1时，g（x）_min=-a²+a+2．
（3）函数y=g（x）的图象恒在x轴的上方，
∴g（x）的最小值大于零，
当-a+1＜0即a＞1时，g（x）_min=g（0）=-a+3＞0；
∴1＜a＜3；
当-a+1＞2即a≤-1时，g（x）_min=g（2）=3a+3＞0；
∴不成立；
当2＞-a+1＞0即-1＜a≤1时，g（x）_min=-a²+a+2＞0，
∴-1＜a≤1；
故a的范围为-1＜a＜3．

点评 考查抽象函数定义域的求法和对二次函数闭区间最小值的分类讨论，利用最小值解决恒成立问题．