题目内容
【题目】如图3,是一个直角梯形,
,
为
边上一点,
、
相交于
,
,
,
.将△
沿
折起,使平面
⊥平面
,连接
、
,得到如图4所示的四棱锥
.
(Ⅰ)求证:⊥平面
;
(Ⅱ)求直线与面
所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】【试题分析】(I)在中,求得
,由此证得
,
,根据面面垂直的性质定理得到
平面
,即
,由此可证得
平面
.(2) O为原点,OA、OD、OB所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系通过计算直线
的方向向量和平面
的法向量计算得线面角的正弦值,再利用三角函数公式转化为余弦值.
【试题解析】
(Ⅰ)在中,
,
,所以
同理,从而
,
又因为,所以
是平行四边形,
因为平面平面
,平面
平面
=AE,
,
所以平面
又平面
,所以
,
所以
(Ⅱ)(方法一)由(Ⅰ)可知,直线OA、OB、OD两两互相垂直,因此,以O为原点,OA、OD、OB所在直线分别为轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
(如图所示)
则,
,
,
设平面的一个法向量为
,则
解得,
,取
所以直线与面
所成角的余弦值为
.
(方法二)由(Ⅰ)可知,四边形的面积
连接,则△
的面积
,
三棱锥的体积
△的面积
设到平面
的距离为
,则
,
直线与面
所成角的正弦值为
,余弦值为