[题目]如图.在四棱锥中.底面为菱形. 平面. . . . 分别是. 的中点.(1)证明: ,(2)设为线段上的动点.若线段长的最小值为.求二面角的余弦值.[答案][解析]试题分析:(1)证明线线垂直则需证明线面垂直.根据题意易得.然后根据等边三角形的性质可得.又.因此得平面.从而得证(2)先找到EH什么时候最短.显然当线段长的最小时. .在中. . . .∴.由中. . .∴.然后建� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，分别是，的中点.

（1）证明：；

（2）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）证明线线垂直则需证明线面垂直，根据题意易得，然后根据等边三角形的性质可得，又，因此得平面，从而得证（2）先找到EH什么时候最短，显然当线段长的最小时，，在中，，，，∴，由中，，，∴.然后建立空间直角坐标系，写出两个面法向量再根据向量的夹角公式即可得余弦值

解析：（1）证明：∵四边形为菱形，，

∴为正三角形.又为的中点，∴.

又，因此.

∵平面，平面，∴.

而平面，平面且，

∴平面.又平面，∴.

（2）如图，为上任意一点，连接， .

当线段长的最小时，，由（1）知，

∴平面，平面，故.

在中，，，，

∴，

由中，，，∴.

由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又，分别是，的中点，

可得，，，，

，，，

所以， .

设平面的一法向量为，

则因此，

取，则，

因为，，，所以平面，

故为平面的一法向量.又，

所以 .

易得二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.

【题型】解答题
【结束】
20

【题目】【2018湖北七市（州）教研协作体3月高三联考】已知椭圆：的左顶点为，上顶点为，直线与直线垂直，垂足为点，且点是线段的中点．

（I）求椭圆的方程；

（II）如图，若直线：与椭圆交于，两点，点在椭圆上，且四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值．

【答案】（I）；（II）

【解析】试题分析：（1）根据题意可得，故斜率为，由直线与直线垂直，可得，因为点是线段的中点，∴点的坐标是，

代入直线得，连立方程即可得，；（2）∵四边形为平行四边形，∴，设，，，∴ ，得，将点坐标代入椭圆方程得，

点到直线的距离为，利用弦长公式得EF，则平行四边形的面积为

解析：（1）由题意知，椭圆的左顶点，上顶点，直线的斜率，

得，

因为点是线段的中点，∴点的坐标是，

由点在直线上，∴，且，

解得，，

∴椭圆的方程为.

（2）设，，，

将代入消去并整理得，

则，，

，

∵四边形为平行四边形，∴ ，

得，将点坐标代入椭圆方程得，

点到直线的距离为，，

∴平行四边形的面积为

故平行四边形的面积为定值.

练习册系列答案

某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：

人数　　次数年龄	[0,10)	[10,20)	[20,30)	[30,40)	[40,50)	[50,60]
18岁至31岁	8	12	20	60	140	150
32岁至44岁	12	28	20	140	60	150
45岁至59岁	25	50	80	100	225	450
60岁及以上	25	10	10	18	5	2

联合国世界卫组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决如下问题：

（1）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；

（2）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？

	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

【题目】如图，在四棱锥中，是平行四边形，，，，，，分别是，的中点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

【题目】如图，已知椭圆：，其左右焦点为、，过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于、两点，且、、构成等差数列．

（1）求椭圆的方程；

（2）记的面积为，（为原点）的面积为，试问：是否存在直线，使得？说明理由．

【题目】已知圆：与抛物线：相交于，两点，分别以点，为切点作圆的切线.若切线恰好都经过抛物线的焦点，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题得设A，，联立圆E和抛物线得：，代入点A得,又AF为圆的切线，故，由抛物线得定义可知：AF=，故化简得：，将点A代入圆得：，而=，故故选A

点睛：此题几何关系较为复杂，我们根据问题可知借此题关键为找到p和r的关系，我们可根据圆和抛物线相交结合抛物线的焦点弦长结论综合计算可得其关系，从而求解

【题型】单选题
【结束】
12

【题目】已知函数在点处的切线为，若直线在轴上的截距恒小于，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【题目】已知椭圆的离心率为，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，的面积的最大值为1，、为椭圆上任意两个关于轴对称的点，直线与轴的交点为，直线交椭圆于另一点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求证：直线过定点.

【题目】如图3，是一个直角梯形，，为边上一点，、相交于，，，．将△沿折起，使平面⊥平面，连接、，得到如图4所示的四棱锥．

（Ⅰ）求证：⊥平面；

（Ⅱ）求直线与面所成角的余弦值．

【题目】随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人1000名，其中250名工人参加短期培训（称为类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为类工人），从该工厂的工人中共抽查了100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到类工人生产能力的茎叶图（左图），类工人生产能力的频率分布直方图（右图）.