Question

【题目】(2017吉林延边州模拟)已知在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.

(1)求动点A的轨迹M的方程;

(2)P为轨迹M上的动点,△PBC的外接圆为☉O1,当点P在轨迹M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.

Answer 1

【答案】(1)=1(y≠0)；(2).

【解析】试题分析：

（1）分析题意可得动点A的轨迹是以B,C为焦点，长轴长为4的椭圆，然后求出后可得椭圆的方程．（2）设P(x0,y0)，可求得线段PB的垂直平分线方程，然后与线段BC的垂直平分线方程联立后可得两直线的交点的纵坐标，此交点的纵坐标的绝对值即为点O1到x轴的距离．然后根据根据函数的单调性可得所求的最值．

试题解析：

(1)根据题意知，

∴动点A的轨迹是以B,C为焦点，长轴长为4的椭圆，不包括椭圆与x轴的交点．

设椭圆的方程为=1(a>b>0且y≠0)，

则2c=2，2a=4，

∴a=2，c=1，

∴b=．

∴动点A的轨迹M的方程为=1(y≠0)．

(2)设P(x0,y0)，不妨设0<y0≤，

则线段PB的垂直平分线方程为y=-，

线段BC的垂直平分线方程为x=0，

两条垂线方程联立求得y=．

∵=1，

∴y=．

∴☉O1的圆心O1到x轴的距离为d=．

又函数在区间(0,内单调递减，

∴当y0=时，有最小值，且ymin=．

∴点O1到x轴的距离的最小值为．