Question

【题目】已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax+xlnx，

∴f′（x）=a+1+lnx，又函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，

∴当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，

∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，即a的取值范围为[﹣2，+∞）；

（2）解：当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）k＜ ，

即 对任意x＞1恒成立．

令 则 ，

令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），

则 在（1，+∞）上单增．

∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，

∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，

即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，

当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．

令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2， =x0∈（3，4），

∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，

即kmax=3．

【解析】（1）易求f′（x）=a+1+lnx，依题意知，当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，即x≥e时，a≥（﹣1﹣lnx）max ， 从而可得a的取值范围；（2）依题意， 对任意x＞1恒成立，令 则 ，再令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），易知h（x）在（1，+∞）上单增，从而可求得g（x）min=x0∈（3，4），而k∈z，从而可得k的最大值．