Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PB⊥面ABCD，BA=BD= ，AD=2，E，F分别是棱AD，PC的中点．

（1）证明：EF∥平面PAB；
（2）若二面角P﹣AD﹣B为60°，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取PB的中点M，连接MF，AM．

又∵F为PC的中点，∴FM∥BC，FM= BC，（中位线定理），

∵E为AD的中点，ABCD是平行四边形，

∴AE∥BC，AE= BC，

∴FM∥AE，FM=AE，

∴四边形AEFM为平行四边形

∴EF∥AM，

∵MA平面PAB，EF平面PAB，

∴EF∥平面PAB．

（2）解：∵BA=BD，PA=PD 且 E为AD的中点，

∴BE⊥AD，PE⊥AD，

∴∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，∴∠PEB=60°，

∵在Rt△ABD，BA=BD= ，AD=2，

∴BE=1，

∵∠PEB=60°，∴Rt△PBE中，PB= ，

∵BE⊥AD，AD∥BC，∴BE⊥BC，

∵PB⊥面ABCD，∴PB⊥BE，

由BC∩PB=B，∴BE⊥平面PBC，

∴∠EFB为直线EF与平面PBC所成角，

∵在Rt△ABM中，AM= ∴ ，

∴在Rt△EBF中，sin∠EFB= = = ，

∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为

【解析】（1）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理证明．（2）根据二面角平面角的定义先找出平面角，结合直线和平面所成角的定义作出线面角，根据三角形的边角关系进行求解即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．