Question

【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， 且a3=5，S15=225．数列{bn}是等比数列，b3=a2+a3 ， b2b5=128（其中n=1，2，3，…）． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记cn=anbn ， 求数列cn前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）公差为d， 则 ，
∴ 故an=2n﹣1（n=1，2，3，…）．
设等比数列bn的公比为q，则 ，∴b3=8，q=2
∴bn=b3qn﹣3=2n（n=1，2，3，…）．
（II）∵cn=（2n﹣1）2n∵Tn=2+322+523+…+（2n﹣1）2n
2Tn=22+323+524+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1
作差：﹣Tn=2+23+24+25+…+2n+1﹣（2n﹣1）2n+1
=
=2+23（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）2n+1=2+2n+2﹣8﹣2n+2n+2n+1=﹣6﹣2n+1（2n﹣3）
∴TN=（2n﹣3）2n+1+6（n=1，2，3，…）
【解析】（I）在数列{an}中，把已知条件用首项a1 ， 公差d表示，联立方程可求a1和d；在数列{bn}中，用b1和公比q把已知表示，求出b1和公比q（II）由（I）可知cn=（2n﹣1）2n ， 利用错位相减求出数列的和
【考点精析】利用数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．