题目内容
【题目】已知关于的不等式
.
(1)当时,解不等式;
(2)如果不等式的解集为空集,求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)当时,不等式
变为
。由绝对值的意义,按绝对值号内的
的正负,分三种情况讨论:当
时,不等式变为
;当
时,不等式变为
,恒成立,所以
符合不等式;当
时,不等式变为
。取三种情况的并集,可得原不等式的解集。(2)解法一:构造函数
与
,原不等式的解集为空集,
的最小值比大于或等于
,作出
与
的图象. 只须
的图象在
的图象的上方,或
与
重合,
。解法二:构造函数
,讨论绝对值号内式子得正负去掉绝对值可得,
,求每一段函数的值域,可得函数的最小值
=1,
小于等于函数的最小值1.解法三,由不等式
可得
,当且仅当
时,上式取等号,∴
.
试题解析:解:(1)原不等式变为.
当时,原不等式化为
,解得
,∴
当时,原不等式化为
,∴
.
当时,原不等式化为
,解得
,∴
.
综上,原不等式解集为.
(2)解法一:作出与
的图象.
若使解集为空集,
只须的图象在
的图象的上方,或
与
重合,
∴,所以
的范围为
.
解法二:
,
当时,
,
当时,
,
当时,
,
综上,原问题等价于
,∴
.
解法三:∵,当且仅当
时,上式取等号,∴
.
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