Question

【题目】已知函数 ，在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）若 ，且 ，求f（x0+1）的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知可得：f（x）=6 + sinωx﹣3（ω＞0） =3cosωx+ sinωx
=2 sin（ωx+ ），
又由于正△ABC的高为2 ，则BC=4，
∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即 =8，
∴ω=
∴函数的值域为[﹣2 ，2 ]
（Ⅱ）∵0≤x≤1，
∴ ≤ x+ ≤ + ，
≤sin（ x+ ）≤1，
3≤2 sin（ + ）≤2
∴函数f（x）的值域为[3，2 ]
（Ⅲ）因为f（x0）= 由（Ⅰ）有f（x0）=2 sin（ + ）= ，即sin（ + ）= ，
由x0∈（﹣ ， ）得：（ + ）∈（﹣ ， ），
所以，cos（ + ）= =
故f（x0+1）=2 sin（ + + ）=2 sin[（ + ）+ ]=2 sin[（ + ）cos +cos（ + ）sin
=2 （ × + × ）=
【解析】（Ⅰ）将f（x）化简为f（x）=2 sin（ωx+ ），由正三角形△ABC的高为2 可求得BC，从而可求得其周期，继而可得ω 及函数f（x）的值域；（Ⅱ）由0≤x≤1，可求得 x+ ∈[ ， ]，利用正弦函数的性质可求得函数f（x）的值域；（Ⅲ）由x0∈（﹣ ， ）可求得（ + ）∈（﹣ ， ），从而可求得cos（ + ），最后利用两角和的正弦即可求得f（x0+1）的值．
【考点精析】利用两角和与差的正弦公式和二倍角的余弦公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两角和与差的正弦公式：；二倍角的余弦公式：．