题目内容
【题目】已知在平面直角坐标系中,坐标原点为,点
,
、
两点分别在
轴和
轴上运动,并且满足
,
,动点
的轨迹为曲线
.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)作曲线的任意一条切线(不含
轴)
,直线
与切线
相交于
点,直线
与切线
、
轴分别相交于
点与
点,试探究
的值是否为定值,若为定值请求出该定值;若不为定值请说明理由.
【答案】(1)(2)2
【解析】
(1)先设,
,
,求出
,
的坐标,根据
,得到
,
,再根据
,即可求出结果;
(2)先由题意设切线的方程为
,与抛物线方程联立,根据判别式为0,得到
,再根据题设及直线
方程易得
,
,
,进而可得出
的结果.
(1)设,
,
,
则,
,
∵,
∴,
∴,
,
∴,
,
又,
∴,
∴点的轨迹方程为
.
(2)的值为定值2.
求解如下:由题可知切线的斜率存在,
设切线的方程为
,代入
可得
,
由可得
.
由题设及直线方程易得
,
,
,
.
又,
∴,
∴为定值.
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