题目内容
【题目】已知椭圆E:,直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与E有两个交点A,B,线段AB的中点为M.
若
,点K在椭圆E上,
、
分别为椭圆的两个焦点,求
的范围;
证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
若l过点
,射线OM与椭圆E交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时直线l斜率;若不能,说明理由.
【答案】(1) (2)见证明;(3)见解析
【解析】
,椭圆E:
,两个焦点
,
,设
,求出
的表达式,然后求解范围即可.
设A,B的坐标分别为
,
,利用点差法转化求解即可.
直线l过点
,直线l不过原点且与椭圆E有两个交点的充要条件是
且
设
,设直线
,代入椭圆方程,通过四边形OAPB为平行四边形,转化求解即可.
,椭圆E:
,两个焦点
,
设,
,
,
,
,
的范围是
设A,B的坐标分别为
,
,则
两式相减,
得,
,
即,故
;
设
,设直线
,即
,
由的结论可知
,代入椭圆方程得,
,
由与
,联立得
若四边形OAPB为平行四边形,那么M也是OP的中点,所以,
即,整理得
解得,
.经检验满足题意
所以当时,四边形OAPB为平行四边形
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