题目内容
【题目】已知椭圆E：
，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
若
，点K在椭圆E上，
、
分别为椭圆的两个焦点，求
的范围；
证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
若l过点
，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由．
【答案】（1）
（2）见证明；（3）见解析
【解析】
，椭圆E：
，两个焦点
，
，设
，求出
的表达式，然后求解范围即可．
设A，B的坐标分别为
，
，利用点差法转化求解即可．
直线l过点
，直线l不过原点且与椭圆E有两个交点的充要条件是
且
设
，设直线
，代入椭圆方程，通过四边形OAPB为平行四边形，转化求解即可．
，椭圆E：，两个焦点，
设，
，
，
，
，
的范围是
设A，B的坐标分别为，，则
两式相减，
得
，
，
即
，故
；
设，设直线，即
，
由的结论可知
，代入椭圆方程得，
，
由
与
，联立得
若四边形OAPB为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以
，
即
，整理得
解得，
．经检验满足题意
所以当时，四边形OAPB为平行四边形
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