题目内容
【题目】如图,正方体,则下列四个命题:
①点在直线
上运动时,直线
与直线
所成角的大小不变
②点在直线
上运动时,直线
与平面
所成角的大小不变
③点在直线
上运动时,二面角
的大小不变
④点在直线
上运动时,三棱锥
的体积不变
其中的真命题是 ( )
A.①③B.③④C.①②④D.①③④
【答案】D
【解析】
①由与平面
的位置关系判断直线
与直线
所成角的大小变化情况;
②考虑与平面
所成角的大小,然后判断直线
与平面
所成角的大小是否不变;
③根据以及二面角的定义判断二面角
的大小是否不变;
④根据线面平行的性质以及三棱锥的体积计算公式判断三棱锥的体积是否不变.
①如下图,连接,
因为,所以
平面
,
所以,所以直线
与直线
所成角的大小不变;
②如下图,连接,记
到平面的距离为
,
设正方体棱长为,所以
,所以
,
又因为,所以
,
所以与平面
所成角的正弦值为:
,
又因为,所以
,
所以所以与平面
所成角的正弦值为:
,
显然,所以直线
与平面
所成角的大小在变化;
③因为,所以
四点共面,又
在直线
上,所以二面角
的大小不变;
④因为,
平面
,
平面
,所以
平面
,
所以当在
上运动时,点
到平面
的距离不变,所以三棱锥
的体积不变.
所以真命题有:①③④.
故选:D.
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