题目内容
【题目】如图，正方体
，则下列四个命题：
①点
在直线
上运动时，直线
与直线
所成角的大小不变
②点在直线上运动时，直线与平面
所成角的大小不变
③点在直线上运动时，二面角
的大小不变
④点在直线上运动时，三棱锥
的体积不变
其中的真命题是 （ ）
A.①③B.③④C.①②④D.①③④
【答案】D
【解析】
①由
与平面
的位置关系判断直线
与直线所成角的大小变化情况；
②考虑
与平面
所成角的大小，然后判断直线与平面所成角的大小是否不变；
③根据
以及二面角的定义判断二面角
的大小是否不变；
④根据线面平行的性质以及三棱锥的体积计算公式判断三棱锥
的体积是否不变.
①如下图，连接
，
因为
，所以
平面，
所以
，所以直线与直线所成角的大小不变；
②如下图，连接
，记
到平面的距离为
，
设正方体棱长为
，所以
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
与平面所成角的正弦值为：
，
又因为
，所以
，
所以所以
与平面所成角的正弦值为：
，
显然
，所以直线与平面所成角的大小在变化；
③因为，所以
四点共面，又
在直线
上，所以二面角的大小不变；
④因为，
平面，
平面，所以
平面，
所以当在上运动时，点到平面的距离不变，所以三棱锥的体积不变.
所以真命题有：①③④.
故选：D.
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