题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求
的极值;
(Ⅱ)当时,讨论
的单调性;
(Ⅲ)若对于任意的都有
,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)当时,
取得极小值为
,无极大值.;(Ⅱ)当
时,
在
和
上是减函数,在
上是增函数,当
时,
在
上是减函数,当
时,
在
和
上是减函数,在
上是增函数;(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ) 当时,
,定义域为
,
.据此可得当
时,
取得极小值为
,无极大值.
(Ⅱ) 当时,函数的定义域为
,且
.分类讨论有:
(1)当时,
在
和
上是减函数,在
上是增函数;
(2)当时,
在
上是减函数;
(3)当时,
在
和
上是减函数,在
上是增函数
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知,当时,
在
上是减函数.原问题等价于
对任意
恒成立,分离参数有
对任意
恒成立.据此可得实数
的取值范围为
.
试题解析:
(Ⅰ)当时,
,定义域为
,
的导函数
.
当时,
,
在
上是减函数;
当时,
,
在
上是增函数.
∴当时,
取得极小值为
,无极大值.
(Ⅱ)当时,
的定义域为
,
的导函数为
.
由得
,
,
.
(1)当时,
在
和
上是减函数,在
上是增函数;
(2)当时,
在
上是减函数;
(3)当时,
在
和
上是减函数,在
上是增函数
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,
在
上是减函数.
∴.
∵对于任意的都有
,
∴对任意
恒成立,
∴对任意
恒成立.
当时,
,∴
.
∴实数的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某学校为倡导全体学生为特困学生捐款,举行“一元钱,一片心,诚信用水”活动,学生在购水处每领取一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续5天的售出和收益情况,如下表:
售出水量x(单位:箱) | 7 | 6 | 6 | 5 | 6 |
收益y(单位:元) | 165 | 142 | 148 | 125 | 150 |
(Ⅰ) 若x与y成线性相关,则某天售出8箱水时,预计收益为多少元?
(Ⅱ) 期中考试以后,学校决定将诚信用水的收益,以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生考入年级前200名,获一等奖学金500元;考入年级201—500 名,获二等奖学金300元;考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为,获二等奖学金的概率均为
,不获得奖学金的概率均为
.
⑴在学生甲获得奖学金条件下,求他获得一等奖学金的概率;
⑵已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的,求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望。
附: ,
。