Question

5．已知四面体的四个顶点S（0，6，4），A（3，5，3），B（-2，11，-5），C（1，-1，4），求从顶点S向底面ABC所引高的长．

Answer 1

分析 求出以$\overrightarrow{AB}$=（-5，6，-8），$\overrightarrow{AC}$=（-2，-6，1），然后求出平面ABC的一个法向量，通过法向量与$\overrightarrow{SA}$的数量积即可求出顶点S到平面ABC的距离．

解答 解：因为四面体四个顶点分别为S（0，6，4），A（3，5，3），B（-2，11，-5），C（1，-1，4），
所以$\overrightarrow{AB}$=（-5，6，-8），$\overrightarrow{AC}$=（-2，-6，1），$\overrightarrow{SA}$=（3，-1，-1）．
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）
所以$\left\{\begin{array}{l}{-5a+6b-8c=0}\\{-2a-6b+c=0}\end{array}\right.$，不妨令a=2，则c=-2，解得b=-1．
平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（2，-1，-2）．
所以顶点S到平面ABC的距离，就是$\overrightarrow{SA}$在平面ABC的法向量投影的长度，即：|$\frac{6+1+2}{\sqrt{4+1+4}}$|=3．

点评 本题考查空间向量的数量积的应用，平面法向量的求法，考查空间想象能力以及计算能力．