Question

6．定义在[-2，2]上的奇函数f（x）在区间[-2，0]上单调递减，则不等式f（1-x）+f（-x）＜0的解集为[-1，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根据条件便可得到f（0）=0，f（x）在（0，2]上单调递减，从而可以得出x＞0时，f（x）＜0，而x＜0时，f（x）＞0，并且由原不等式得到f（1-x）＜f（x）．这样可将x分成：-2≤x≤0，0＜x＜1，和1≤x≤2这几种情况，然后根据f（1-x），f（x）的符号，和f（x）的单调性便可求得每种情况下原不等式的解，求并集便可得出原不等式的解集．

解答 解：根据f（x）在[-2，2]上为奇函数，在[-2，0]上单调递减；
∴f（x）在[-2，2]上单调递减；
∴由f（1-x）+f（-x）＜0得，f（1-x）＜f（x）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤1-x≤2}\\{-2≤x≤2}\\{1-x＞x}\end{array}\right.$；
解得$-1≤x＜\frac{1}{2}$；
∴原不等式的解集为$[-1，\frac{1}{2}）$．
故答案为：[-1，$\frac{1}{2}$）．

点评 考查奇函数的定义，奇函数f（x）在原点有定义时，f（0）=0，奇函数在对称区间上的单调性，以及减函数定义的运用．