Question

7．如图，△ABC内接于⊙O，AE与⊙O相切于点A，BD平分∠ABC，交⊙O于点D，交AE的延长线于点E，DF⊥AE于点F．
（Ⅰ）求证：$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{DE}$；
（Ⅱ）求证：AC=2AF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明△DAE∽△ABE，即可证明$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{DE}$；
（Ⅱ）过点D作DH⊥AC，垂足为H，连接CD，证明DF=DH，AH=CH，即可证明AC=2AF．

解答 证明：（Ⅰ）∵AE与⊙O相切于点A，∴∠EAD=∠EBA，
∵∠E=∠E，
∴△DAE∽△ABE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{DE}$；
（Ⅱ）过点D作DH⊥AC，垂足为H，连接CD，则：
∵∠EAD=∠ABD，∠DAC=∠DBC，BD平分∠ABC，
∴∠EAD=∠DAC
∵DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF=DH
在Rt△DFA和Rt△DHA中，DF=DH，DA=DA，
∴Rt△DFA≌Rt△DHA，
∴AF=AH，
∵∠ABD=∠CBD，
∴DC=DA，
∵DH⊥AC，
∴AH=CH，
∴AC=2AH=2AF．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查三角形全等的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．