题目内容
【题目】椭圆的左、右焦点分别为
,
,过点
的直线
与椭圆交于点
,
,
的周长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若.①当
时,求直线
的方程;
②证明是定值,并求出此定值.
【答案】(1);(2)①
或
;②证明见解析,
.
【解析】
(1)根据周长和焦点坐标可得到关于
的方程组,解方程组求得
,进而得到椭圆方程;
(2)设直线,代入椭圆方程可得
与
;
①由可得
,代入
与
中,消去
即可得到关于
的方程,解方程求得
,即可得到所求直线方程;
②利用焦半径公式可表示出和
,从而将所证明式子表示为
,代入
可化简得到定值为
.
(1)的周长为
,又
解得:,
椭圆的标准方程为
(2)设直线的方程为
,
,
把代入
并化简得:
则有,
①当时,由
可得:
,则
,
消去得:
,解得:
直线
的方程为
或
;
②由题意得:
,
由可得
,代入上式得:
是定值,定值为
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