题目内容
【题目】定义个数
的“倒均值”
.
(1)若数列的前
项,
的“倒均值”
. 求
的通项公式
(2)在(1)的条件下,令,试研究数列
的单调性,并给出证明.
(3)在(2)的条件下,设函数,对于数列
,是否存在实数
,使得当
时,
对任意
恒成立?若存在,求出在最小的实数
,若不存在,说明理由.
【答案】(1)
(2)数列为增函数,证明见解析
(3)存在,
【解析】
(1)由“倒均值”的定义求解即可;
(2)由定义法证明数列的单调性即可;
(3)利用最值法可得,当时,
恒成立,从而求解
的范围即可得解.
解:(1)由“倒均值”的定义及的“倒均值”为
,
则,
所以,
当时,
,
又当时,
,满足上式,
即,
故的通项公式为
;
(2)由(1)得:,
则数列为增函数,证明如下:
,即
,
故数列为增函数;
(3)存在,理由如下:
由(2)可得:当时,
取最小值
,
设存在实数,使得当
时,
对任意
恒成立,
则存在实数,使得当
时,
恒成立,
解二次不等式,
解得:或
,
即存在实数,使得当
时,
恒成立,此时
,
即最小的实数为
.
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练习册系列答案
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【题目】有两种理财产品和
,投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下(每种理财产品的不同投资结果之间相互独立):
产品:
投资结果 | 获利 | 不赔不赚 | 亏损 |
概率 |
产品:
投资结果 | 获利 | 不赔不赚 | 亏损 |
概率 |
注:
(1)若甲、乙两人分别选择了产品投资,一年后他们中至少有一人获利的概率大于
,求实数
的取值范围;
(2)若丙要将20万元人民币投资其中一种产品,以一年后的投资收益的期望值为决策依据,则丙选择哪种产品投资较为理想.