Question

8．设a、b、x、y都为实数，且x²+y²=1，求函数y=$\sqrt{{a}^{2}{x}^{2}+{b}^{2}{y}^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}{y}^{2}+{b}^{2}{x}^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 令 $\overrightarrow{m}$=（ax，by），$\overrightarrow{n}$=（bx，ay），则由题意可得y=|$\overrightarrow{m}$|+|$\overrightarrow{n}$|≥|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{{[（a+b）x]}^{2}{+[（a+b）y]}^{2}}$，从而求得y的最小值．

解答 解：令 $\overrightarrow{m}$=（ax，by），$\overrightarrow{n}$=（bx，ay），则由x²+y²=1，
可得y=$\sqrt{{a}^{2}{x}^{2}+{b}^{2}{y}^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}{y}^{2}+{b}^{2}{x}^{2}}$=|$\overrightarrow{m}$|+|$\overrightarrow{n}$|≥|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{{[（a+b）x]}^{2}{+[（a+b）y]}^{2}}$=$\sqrt{{（a+b）}^{2}}$=|a+b|，
故y的最小值为|a+b|．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，向量的模的定义和性质，属于基础题．