Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）+2sin²$\frac{ωx+φ}{2}$-1（ω＞0，0＜φ＜π），相邻两对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，且f（0）=0
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再把横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．当x∈[-$\frac{π}{12}，\frac{π}{6}$]时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），由题意可得ω和φ值，可得解析式；
（2）由图象变换可得g（x）=2sin（4x-$\frac{π}{3}$），由x∈[-$\frac{π}{12}，\frac{π}{6}$]和三角函数的性质可得值域．

解答 解：（1）化简可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）+2sin²$\frac{ωx+φ}{2}$-1
=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）
∵相邻两对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，∴$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ-$\frac{π}{6}$），
∵f（0）=0，0＜φ＜π，∴φ=$\frac{π}{6}$
∴f（x）=2sin（2x）；
（2）函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，的函数y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
再把横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，
∴g（x）=2sin（4x-$\frac{π}{3}$），∵x∈[-$\frac{π}{12}，\frac{π}{6}$]，∴4x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∴sin（4x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，∴函数的值域为[-2，$\sqrt{3}$]

点评 本题考查三角函数图象的变换以及三角函数图象和性质，属基础题．