Question

12．设f（x）=ka^x-a^-x（a＞0，a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R上的奇函数．
（1）求k的值，并证明a＞1时，f（x）在R上是增函数；
（2）已知f（1）=$\frac{3}{2}$，函数g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x），x∈[-1，1]，求g（x）的值域；
（3）已知a=3，若f（x）≥λf（x），对x∈[1，2]时恒成立，求最大整数λ

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）为R上的奇函数，可求得k的值，即可得函数f（x）的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；
（2）根据f（1）的值，可以求得a，即可得g（x）的解析式，利用换元法，将函数g（x）转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域；
（3）根据a=3，将f（3x）≥λ•f（x）表示出来，利用换元法和参变量分离法，将不等式转化为λ≤t²+3对t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]恒成立，利用二次函数的性质，求得t²+3的最小值，即可求得λ的取值范围，从而得到答案．

解答 解：（1）∵f（x）=ka^x-a^-x是定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=0，得k=1，
∴f（x）=a^x-a^-x，
∵f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数，
设x₂＞x₁，则f（x₂）-f（x₁）=（a^x₂-a^-x₂）-（a^x₁-a^-x₁）=（a^x₂-a^x₁）（1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$），
∵a＞1，
∴a^x₂＞a^x₁，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在R上为增函数；
（2）∵f（1）=$\frac{3}{2}$，
∴a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去），
则y=g（x）=2^2x+2^-2x-2（2^x-2^-x），x∈[-1，1]，
令t=2^x-2^-x，x∈[-1，1]，
由（1）可知该函数在区间[-1，1]上为增函数，则t∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
则y=h（t）=t²-2t+2，t∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
当t=-$\frac{3}{2}$时，y_max=$\frac{29}{4}$；当t=1时，y_min=1，
∴g（x）的值域为[1，$\frac{29}{4}$]，
（3）由题意，即3^3x+3^-3x≥λ（3^x-3^-x），在x∈[1，2]时恒成立
令t=3^x-3^-x，x∈[1，2]，则t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]，
则（3^x-3^-x）（3^2x+3^-2x+1）≥λ（3^x-3^-x），x∈[1，2]恒成立，
即为t（t²+3）≥λ•t，t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]恒成立，
λ≤t²+3，t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]恒成立，当t=$\frac{8}{3}$时，（t²+3）_min=$\frac{91}{9}$，
∴λ≤$\frac{91}{9}$，则λ的最大整数为10．

点评 本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．同时考查了函数的恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了参变量分离的方法转化成二次函数求最值问题．属于中档题．