题目内容
4．设数列{an}满足：an+1=an+$\frac{1}{n（n+1）}$，a3=1，则a1=$\frac{1}{3}$．分析 通过an+1=an+$\frac{1}{n（n+1）}$可知an-an-1=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，an-1-an-2=$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$，…，a2-a1=1-$\frac{1}{2}$，累加计算可知an=a1+1-$\frac{1}{n}$，进而计算可得结论．
解答 解：∵an+1=an+$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴an+1-an=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴an-an-1=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
an-1-an-2=$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$，
…
a2-a1=1-$\frac{1}{2}$，
累加得：an-a1=1-$\frac{1}{n}$，
∴an=a1+1-$\frac{1}{n}$，
又∵a3=1，
∴1=a1+1-$\frac{1}{3}$，
∴a1=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．
点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
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