题目内容
20.函数f(x)的定义域为R,若对任意实数x,y∈R,都有f(x)+f(y)=2f(x2-y2),且f(x)在[0,+∞)上为增函数.(1)求证:f(x)为偶函数;
(2)若f(a-2)-f(4-a)<0,试求a的取值范围.
分析 (1)以-x代替x,即可证明f(x)为偶函数;
(2)若f(a-2)-f(4-a)<0,利用f(x)为偶函数,f(x)在[0,+∞)上为增函数,可得|a-2|<|4-a|,即可求a的取值范围.
解答 (1)证明:以-x代替x,可得f(-x)+f(y)=2f[(-x)2-y2]=2f(x2-y2)=f(x)+f(y),
∴f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数;
(2)解:∵f(a-2)-f(4-a)<0,
∴f(a-2)<f(4-a),
∵f(x)为偶函数,f(x)在[0,+∞)上为增函数,
∴|a-2|<|4-a|,
∴a<3.
点评 本题考查函数的奇偶性与单调性,考查学生解不等式的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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5.已知f(x)为偶函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,若x1<0,x2>0,且|x1|<|x2|,则有( )
A. | f(-x1)+f(-x2)>0 | B. | f(x1)+f(x2)<0 | C. | f(-x1)-f(x2)>0 | D. | f(x1)-f(x2)<0 |