Question

18．设数列{a_n}（n=1，2，3，…）的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n，求使得|T_n-1|$＜\frac{1}{1000}$成立的n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知数列递推式得到a_n=2a_n-1（n≥2），再由已知a₁，a₂+1，a₃成等差数列求出数列首项，可得数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通项公式，再由等比数列的前n项和求得T_n，结合$|{T}_{n}-1|＜\frac{1}{1000}$求解指数不等式得n的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由已知S_n=2a_n-a₁，有
a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1 （n≥2），
即a_n=2a_n-1（n≥2），
从而a₂=2a₁，a₃=2a₂=4a₁，
又∵a₁，a₂+1，a₃成等差数列，
∴a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得：a₁=2．
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．故${a}_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴${T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}=\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{{2}^{n}}$．
由$|{T}_{n}-1|＜\frac{1}{1000}$，得$|1-\frac{1}{{2}^{n}}-1|＜\frac{1}{1000}$，即2ⁿ＞1000．
∵2⁹=512＜1000＜1024=2¹⁰，
∴n≥10．
于是，使|T_n-1|$＜\frac{1}{1000}$成立的n的最小值为10．

点评 本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．