Question

7．设函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-klnx，k＞0．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$]上仅有一个零点．

Answer 1

分析 （1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；
（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}-klnx（k＞0）\\;\\;得$
f'（x）=x-$\frac{k}{x}=\frac{{x}^{2}-k}{x}$
由f'（x）=0解得x=$\sqrt{k}$
f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：

X	（0，$\sqrt{k}$）	$\sqrt{k}$	（$\sqrt{k}，+∞$）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↓	$\frac{k（1-lnk）}{2}$	↑

所以，f（x）的单调递增区间为（$\sqrt{k}，+∞$），单调递减区间为（0，$\sqrt{k}$）；
f（x）在x=$\sqrt{k}$处的极小值为f（$\sqrt{k}$）=$\frac{k（1-lnk）}{2}$，无极大值．
（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（$\sqrt{k}$）=$\frac{k（1-lnk）}{2}$．
因为f（x）存在零点，所以$\frac{k（1-lnk）}{2}≤0$，从而k≥e
当k=e时，f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$）上单调递减，且f（$\sqrt{e}$）=0
所以x=$\sqrt{e}$是f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$）上唯一零点．
当k＞e时，f（x）在区间（0，$\sqrt{e}$）上单调递减，且$f（1）=\frac{1}{2}＞0，f（\sqrt{e}）=\frac{e-k}{2}＜0$，
所以f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$）上仅有一个零点．
综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，$\sqrt{e}$]上仅有一个零点．

点评 本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．