Question

13．设函数f（x）的定义域为R，若存在与x无关的正常数M，使得|f（x）|≤M|x|对一切实数x恒成立，则称f（x）为“有界泛函”，给出下列函数：①f（x）=x²；②f（x）=2^x；③f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；④f（x）=xsinx．
其中是“有界泛函”的是③④．（请填写你认为正确的序号．）

Answer 1

分析 本题考查阅读题意的能力，根据F函数的定义进行判定：对于（1）、（2）两个函数无最大值故不存在这样的M对一切实数x均成立；对于（3），需要通过讨论，将不等式变形为|$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$|≤m，可以求出符合条件的m的最小值为$\frac{4}{3}$，如此可得到正确结论；对于（4），|f（x）|=|xsinx|≤M|x|，即|sinx|≤M，当M≥1时，f（x）=xsinx是有界泛函．

解答 解：对于（1），|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；
对于（2），|f（x）|=|2^x|≤M|x|，不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；
对于（3），要使|f（x）|≤m|x|成立，即|$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$|≤m|x|
当x=0时，m可取任意正数；当x≠0时，只须m≥|$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$|的最大值；
因为x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，所以m≥$\frac{4}{3}$，因此，当m≥$\frac{4}{3}$时，f（x）是有界泛函；
对于（4），|f（x）|=|xsinx|≤M|x|，即|sinx|≤M，当M≥1时，f（x）=xsinx是有界泛函．
故答案为：③④．

点评 本题属于开放式题，题型新颖，考查数学的阅读理解能力．知识点方面主要考查了函数的最值及其几何意义，考生需要有较强的分析问题解决问题的能力，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．