题目内容

20.(本小题满分14分)
已知抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线两点;椭圆的中心在原点,焦点在轴上,点是它的一个顶点,且其离心率
(1)求椭圆的方程;
(2)经过两点分别作抛物线的切线,切线相交于点.证明:
(3)椭圆上是否存在一点,经过点作抛物线的两条切线为切点),使得直线过点?若存在,求出抛物线与切线所围成图形的面积;若不存在,试说明理由.
 
,
20.(本小题满分14分)
(考查椭圆、抛物线、直线、定积分等知识,考查数形结合、化归转化等数学思想、以及推理论证能力和运算求解能力)
解:(1)设椭圆的方程为,半焦距为.
由已知条件,得

解得 .
所以椭圆的方程为:.                  …………
(2)显然直线的斜率存在,否则直线与抛物线只有一个交点,不合题意,
故可设直线的方程为 
   
消去并整理得
∴  .                                  …………
∵抛物线的方程为,求导得
∴过抛物线两点的切线方程分别是
, 
 ,  
解得两条切线的交点的坐标为,即,……

.                                                      …………
(3)假设存在点满足题意,由(2)知点必在直线上,又直线与椭圆有唯一交点,故的坐标为
设过点且与抛物线相切的切线方程为:,其中点为切点.
得,
解得 ,                                    …………
故不妨取,即直线过点.
综上所述,椭圆上存在一点,经过点作抛物线的两条切线为切点),能使直线过点.
此时,两切线的方程分别为.             …………
抛物线与切线所围成图形的面积为
 .  
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