题目内容
20.(本小题满分14分)
已知抛物线:的焦点为,过点作直线交抛物线于、两点;椭圆的中心在原点,焦点在轴上,点是它的一个顶点,且其离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)经过、两点分别作抛物线的切线、,切线与相交于点.证明:;
(3)椭圆上是否存在一点,经过点作抛物线的两条切线、(、为切点),使得直线过点?若存在,求出抛物线与切线、所围成图形的面积;若不存在,试说明理由.
已知抛物线:的焦点为,过点作直线交抛物线于、两点;椭圆的中心在原点,焦点在轴上,点是它的一个顶点,且其离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)经过、两点分别作抛物线的切线、,切线与相交于点.证明:;
(3)椭圆上是否存在一点,经过点作抛物线的两条切线、(、为切点),使得直线过点?若存在,求出抛物线与切线、所围成图形的面积;若不存在,试说明理由.
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20.(本小题满分14分)
(考查椭圆、抛物线、直线、定积分等知识,考查数形结合、化归转化等数学思想、以及推理论证能力和运算求解能力)
解:(1)设椭圆的方程为,半焦距为.
由已知条件,得,
∴
解得 .
所以椭圆的方程为:. …………分
(2)显然直线的斜率存在,否则直线与抛物线只有一个交点,不合题意,
故可设直线的方程为 ,,
由
消去并整理得,
∴ . …………分
∵抛物线的方程为,求导得,
∴过抛物线上、两点的切线方程分别是
, ,
即 , ,
解得两条切线、的交点的坐标为,即,……分
∴
∴. …………分
(3)假设存在点满足题意,由(2)知点必在直线上,又直线与椭圆有唯一交点,故的坐标为,
设过点且与抛物线相切的切线方程为:,其中点为切点.
令得,,
解得或 , …………分
故不妨取,即直线过点.
综上所述,椭圆上存在一点,经过点作抛物线的两条切线、(、为切点),能使直线过点.
此时,两切线的方程分别为和. …………分
抛物线与切线、所围成图形的面积为
.
(考查椭圆、抛物线、直线、定积分等知识,考查数形结合、化归转化等数学思想、以及推理论证能力和运算求解能力)
解:(1)设椭圆的方程为,半焦距为.
由已知条件,得,
∴
解得 .
所以椭圆的方程为:. …………分
(2)显然直线的斜率存在,否则直线与抛物线只有一个交点,不合题意,
故可设直线的方程为 ,,
由
消去并整理得,
∴ . …………分
∵抛物线的方程为,求导得,
∴过抛物线上、两点的切线方程分别是
, ,
即 , ,
解得两条切线、的交点的坐标为,即,……分
∴
∴. …………分
(3)假设存在点满足题意,由(2)知点必在直线上,又直线与椭圆有唯一交点,故的坐标为,
设过点且与抛物线相切的切线方程为:,其中点为切点.
令得,,
解得或 , …………分
故不妨取,即直线过点.
综上所述,椭圆上存在一点,经过点作抛物线的两条切线、(、为切点),能使直线过点.
此时,两切线的方程分别为和. …………分
抛物线与切线、所围成图形的面积为
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