题目内容
(本小题满分14分)已知正三角形的三个顶点都在抛物线上,其中为坐标原点,设圆是的内接圆(点为圆心)
(I)求圆的方程;
(II)设圆的方程为,过圆上任意一点分别作圆的两条切线,切点为,求的最大值和最小值.
(I)求圆的方程;
(II)设圆的方程为,过圆上任意一点分别作圆的两条切线,切点为,求的最大值和最小值.
(I)圆C的方程为
(II)的最大值为,最小值为
(II)的最大值为,最小值为
解法一:设A、B两点坐标分别为,由题设知
解得
所以
设圆心C的坐标为(r,0),则因此圆C的方程为
4分
解法二:设A、B两点坐标分别为由题设知
.
又因为即
由x1>0,x2>0,可知x1=x2,故A、B两点关于x轴对称,所以圆心C在x轴上.
设C点的坐标为(r,0),则A点坐标为,于是有,解得r=4,所以圆C的方程为
4分
(Ⅱ)解:设∠ECF=2a,则
. 8分
在Rt△PCE中,.由圆的几何性质得
≤≥ 10分
所以≤≤,由此可得
≤≤.
故的最大值为,最小值为. 14分
解得
所以
设圆心C的坐标为(r,0),则因此圆C的方程为
4分
解法二:设A、B两点坐标分别为由题设知
.
又因为即
由x1>0,x2>0,可知x1=x2,故A、B两点关于x轴对称,所以圆心C在x轴上.
设C点的坐标为(r,0),则A点坐标为,于是有,解得r=4,所以圆C的方程为
4分
(Ⅱ)解:设∠ECF=2a,则
. 8分
在Rt△PCE中,.由圆的几何性质得
≤≥ 10分
所以≤≤,由此可得
≤≤.
故的最大值为,最小值为. 14分
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