题目内容
已知函数在上是增函数,在上为减函数.
(1)求的表达式;
(2)若当时,不等式恒成立,求实数的值;
(3)是否存在实数使得关于的方程在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,若存在,求实数的取值范围.
(1)求的表达式;
(2)若当时,不等式恒成立,求实数的值;
(3)是否存在实数使得关于的方程在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,若存在,求实数的取值范围.
(1)f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2;(2)m>e2-2;(3)2-2ln2<b≤3-2ln3.
第一问中,利用f′(x)=2(1+x)- 依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2)上为减函数.∴x=-2时,f(x)有极小值,∴f′(-2)=0.
代入方程解得a=1,
故求得解析式
第二问中,当时,不等式恒成立,只需要求解f(x)的最大值满足即可。第三问中,若存在实数b使得条件成立,方程f(x)=x2+x+b
即为x-b+1-ln(1+x)2=0,构造函数令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,
求导得到结论。
解 (1)∵f′(x)=2(1+x)-=2·,
依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2)上为减函数.∴x=-2时,f(x)有极小值,∴f′(-2)=0.代入方程解得a=1,故f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.
(2)由于f′(x)=2(1+x)-=,
令f′(x)=0,得x1=0,x2=-2.
(由于x∈,故x2=-2舍去),
易证函数在上单调递减,
在[0,e-1]上单调递增,
且f()=+2,f(e-1)=e2-2>+2,
故当x∈时,f(x)max=e2-2,
因此若使原不等式恒成立只需m>e2-2即可.
(3)若存在实数b使得条件成立,
方程f(x)=x2+x+b,即为x-b+1-ln(1+x)2=0,
令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,
则g′(x)=1-=,
令g′(x)>0,得x<-1或x>1,
令g′(x)<0,得-1<x<1,
故g(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,要使方程f(x)=x2+x+b在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,只需g(x)=0在区间[0,1]和[1,2]上各有一个实根,于是有2-2ln2<b≤3-2ln3,
故存在这样的实数b,当2-2ln2<b≤3-2ln3时满足条件.
代入方程解得a=1,
故求得解析式
第二问中,当时,不等式恒成立,只需要求解f(x)的最大值满足即可。第三问中,若存在实数b使得条件成立,方程f(x)=x2+x+b
即为x-b+1-ln(1+x)2=0,构造函数令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,
求导得到结论。
解 (1)∵f′(x)=2(1+x)-=2·,
依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2)上为减函数.∴x=-2时,f(x)有极小值,∴f′(-2)=0.代入方程解得a=1,故f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.
(2)由于f′(x)=2(1+x)-=,
令f′(x)=0,得x1=0,x2=-2.
(由于x∈,故x2=-2舍去),
易证函数在上单调递减,
在[0,e-1]上单调递增,
且f()=+2,f(e-1)=e2-2>+2,
故当x∈时,f(x)max=e2-2,
因此若使原不等式恒成立只需m>e2-2即可.
(3)若存在实数b使得条件成立,
方程f(x)=x2+x+b,即为x-b+1-ln(1+x)2=0,
令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,
则g′(x)=1-=,
令g′(x)>0,得x<-1或x>1,
令g′(x)<0,得-1<x<1,
故g(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,要使方程f(x)=x2+x+b在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,只需g(x)=0在区间[0,1]和[1,2]上各有一个实根,于是有2-2ln2<b≤3-2ln3,
故存在这样的实数b,当2-2ln2<b≤3-2ln3时满足条件.
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