Question

已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数．
（1）若在区间上的最大值为－3，求的值；
（2）当时，试推断方程是否有实数解．

Answer 1

（1）；（2）见解析.

第一问中利用导数的思想求解极值，然后利用端点值和极值比较大小，得到最值。
第二问中，利用由（1）知当时，，所以
又令，，令，得
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
∴，即
因此得到结论。
解：（1）………1分
①若，则，从而在上是增函数，
∴，不合题意………2分
②若，则由，即，
由，即
从而在上是增函数，在为减函数
∴，得，即满足意题……3分
（2）由（1）知当时，，所以………1分
又令，，令，得
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
∴，∴，………4分
∴，即
∴方程没有实数解．………1分