题目内容

【题目】如图,三棱台的底面是正三角形,平面平面.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)若和梯形的面积都等于,求三棱锥的体积.

【答案】(I)见证明;(II)

【解析】

(Ⅰ)取的中点为,连结,可证明四边形为平行四边形,得,由等腰三角形的性质得,可得,由面面垂直的性质可得平面,从而可得结果;(Ⅱ)由三棱台的底面是正三角形,且,可得,由此.根据面积相等求得棱锥的高,利用棱锥的体积公式可得结果.

(Ⅰ)取的中点为,连结.

是三棱台得,平面平面,∴.

∴四边形为平行四边形,∴.

的中点,

,∴.

∵平面平面,且交线为平面

平面,而平面

.

(Ⅱ)∵三棱台的底面是正三角形,且

,∴

.

由(Ⅰ)知,平面.

∵正的面积等于,∴.

∵直角梯形的面积等于

,∴

.

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