题目内容
【题目】已知椭圆:
的长轴长为
,右顶点到左焦点的距离为
,直线l:
与椭圆
交于A,B两点.
求椭圆
的方程;
若A为椭圆的上项点,M为AB中点,O为坐标原点,连接OM并延长交椭圆
于N,
,求k的值.
若原点O到直线l的距离为1,
,当
时,求
的面积S的范围.
【答案】(1); (2)
; (3)
.
【解析】
先根据已知条件可求出a、c的值,结合a、b、c的值可得出b的值,进而可求出椭圆
的标准方程;
先得出直线l的方程为
,将直线l的方程代入椭圆方程可求出点B的坐标,利用中点坐标公式可得出点M的坐标,根据已知条件可得出点N的坐标,再将点N的坐标代入椭圆的方程,即可求出k的值;
利用原点O到直线l的距离可得出
,将直线l的方程与椭圆方程联立,列出韦达定理,将韦达定理代入
,结合
的取值范围可得出
的取值范围,并求出线段AB的长度的表达式,可求出
的取值范围,再利用三角形的面积公式可求出S的取值范围.
由题意可知,
,于是得到
,
因为右顶点到左焦点的距离为,所以,
,则
,
因此,椭圆的方程为
;
当点A为椭圆的上顶点时,点A的坐标为
,则
,直线l的方程为
,
将直线l的方程代入椭圆的方程并化简得,解得
,
,
所以点B的坐标为,
由于点M为线段AB的中点,则点M的坐标为,
由于,所以,点N的坐标为
,
将点N的坐标代入椭圆的方程得,化简得
,解得
;
由于点O到直线l的距离为1,则有
,所以,
.
设点、
,将直线l的方程代入椭圆方程并化简得
,
由韦达定理可得,
,
,
由于,即
,解得
,
线段AB的长为
,
所以,.
因此,的面积S的取值范围是
.
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