题目内容
【题目】某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床,A型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年).若第 1 年A型车床创造的价值是250万元,且第1年至第6年,每年A型车床创造的价值减少30万元;从第7年开始,每年A型车床创造的价值是上一年价值的 50%.现用(
)表示A型车床在第n年创造的价值.
(1)求数列的通项公式
;
(2)记为数列
的前n项的和
,企业经过成本核算,若
万元,则继续使用A型车床,否则更换A型车床,试问该企业须在第几年年初更换A型车床?(已知:若正数数列
是单调递减数列,则数列
也是单调递减数列).
【答案】(1) (
);(2)12
【解析】
(1)由题意可得:第1年至第6年时为递减等差数列,易求;从第7年开始为以
为首项,公比
的等比数列,则可求得
;
(2)由(1)知数列是单调递减数列,则
也是单调递减数列,当
时,易求
100万元;当
时,通过计算判断
万元,
万元,则可得第12年年初更换车床.
(1)由题意可得在第1年至第6年时数列为以
为首项,公差
的等差数列,所以可得
在第7年开始数列
是以
为首项,公比
的等比数列,则可求得
,
综上可得数列的通项公式
(
);
(2)由(1)知数列是单调递减数列,则由题意得新数列
即
也是单调递减数列,当
时,
(万元),所以前六年不用更换车床;
当时,
由(万元),
(万元),且
是单调递减数列,可得当
时,
(万元)恒成立,所以该企业必须在第12年年初更换车床.
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