题目内容
【题目】已知函数的定义域为,当时,,且对任意的实数,等式恒成立,若数列满足,且,则的值为( )
A.4037B.4038C.4027D.4028
【答案】A
【解析】
由,对任意的实数,等式恒成立,且,得到an+1=an+2,由等差数列的定义求得结果.
∵,∴f(an+1)f(﹣2﹣an)=1,∵f(x)f(y)=f(x+y)恒成立,
∴令x=﹣1,y=0,则f(﹣1)f(0)=f(﹣1),∵当x<0时,f(x)>1,∴f(﹣1)≠0,
则f(0)=1,则f(an+1)f(﹣2﹣an)=1,等价为f(an+1)f(﹣2﹣an)=f(0),
即f(an+1﹣2﹣an)=f(0),则an+1﹣2﹣an=0,∴an+1﹣an=2.
∴数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列,首项a1=f(0)=1,
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,∴=2×2019﹣1=4037.
故选:A