题目内容
【题目】设
，
为奇函数.
（1）求
的值；
（2）若对任意
恒有
成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由
求出实数
的值，求出函数
的解析式，然后利用奇偶性的定义验证函数为奇函数；
（2）分析出函数为增函数，结合奇函数的性质，由
得出
，由单调性得出
对任意的
恒成立，构造函数
，对该二次函数的对称轴与区间
的位置关系进行分类讨论，分析函数
在区间上的单调性，得出最小值
，然后解不等式
可得出实数的取值范围.
（1）因为函数为奇函数，且定义域为
，故
，所以.
故
，所以，此时，
，定义域为，关于原点对称.
，则函数为奇函数；
（2）由（1）得
，
则函数在上为减函数，由于函数为奇函数，
由，可得，则有
.
，则该不等式对任意的恒成立，
构造函数，其中，则.
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线
，下面分三种情况讨论：
①当
时，即
时，函数在上单调递增，
则函数的最小值为
恒成立，
，此时；
②当
时，即
时，函数在上单调递减，
则函数的最小值为
，解得
，此时
；
③当
时，即
时，函数在
上单调递减，在
上单调递增，则函数的最小值为
，整理得
，
解得
，此时
.
综上所述，实数的取值范围是.
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