Question

10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C₁的极坐标方程为ρ=4sinθ，圆C₂的极坐标方程为$ρ=4cos（θ+\frac{π}{6}）$，已知C₁与C₂交于A、B两点，其中点B（x_B，y_B）位于第一象限．
（Ⅰ）求点A和点B的极坐标；
（Ⅱ）设圆C₁的圆心为C₁，点P是直线BC₁上的动点，且满足$\overrightarrow{BP}=m\overrightarrow{B{C_1}}$，若直线C₁P的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}λ\\ y=1+\frac{1}{2}λ\end{array}$（λ为参数）的动点，则m：λ的值为多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）联立极坐标方程可得$4sinθ=4cos（θ+\frac{π}{6}）$，当ρ≠0时，可得点B的极坐标是$B（2，\frac{π}{6}）$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得点B的直角坐标为$B（\sqrt{3}，1）$，可得C₁的直角坐标为C₁（0，2），设点$P（\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}λ，1+\frac{1}{2}λ）$，由向量式可得．

解答 解：（Ⅰ）联立C₁与C₂的极坐标方程$\left\{\begin{array}{l}ρ=4sinθ\\ ρ=4cos（θ+\frac{π}{6}）\end{array}\right.$，得$4sinθ=4cos（θ+\frac{π}{6}）$，
当ρ=0时，得交点A极坐标为A（0，0），
当ρ≠0时，化简得$tanθ=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$θ=\frac{π}{6}$，ρ=2，或$θ=\frac{7π}{6}$，ρ=-2（舍去），
∴点B的极坐标是$B（2，\frac{π}{6}）$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得点B的直角坐标为$B（\sqrt{3}，1）$，
将圆C₁的极坐标方程化为直角坐标方程得x²+（y-2）²=4，
∴C₁的直角坐标为C₁（0，2），
设点P对应的参数为λ，即$P（\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}λ，1+\frac{1}{2}λ）$，
∴$\overrightarrow{BP}=（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}λ，\frac{1}{2}λ）$，$\overrightarrow{B{C_1}}=（-\sqrt{3}，1）$，
由$\overrightarrow{BP}=m\overrightarrow{B{C_1}}$，得$\left\{\begin{array}{l}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}λ=-m\sqrt{3}\\ \frac{1}{2}λ=m\end{array}\right.$，
∴m：λ=1：2

点评 本题考查参数方程和极坐标方程和普通方程的关系，属基础题．