Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sin2x，sinx+cosx），$\overrightarrow{b}$=（1，sinx-cosx），其中x∈R，记函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（$\frac{θ}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\frac{2π}{3}$＜θ＜$\frac{7π}{6}$，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），由周期公式即可得解．
（2）由f（$\frac{θ}{2}$）=2sin（θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可解得：sin（θ-$\frac{π}{6}$）的值，结合角的范围即可求得cos（θ-$\frac{π}{6}$）的值，由cosθ=cos[（θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]，利用两角和的余弦函数公式即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sin2x+sin²x-cos²x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵f（$\frac{θ}{2}$）=2sin（θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可解得：sin（θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵$\frac{2π}{3}$＜θ＜$\frac{7π}{6}$，
∴$\frac{π}{2}$$＜θ-\frac{π}{6}＜\frac{3π}{2}$，
∴cos（θ-$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（θ-\frac{π}{6}）}$=-$\frac{\sqrt{13}}{4}$．
∴cosθ=cos[（θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（θ-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（θ-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=（-$\frac{\sqrt{13}}{4}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{1}{2}$=-$\frac{\sqrt{39}+\sqrt{3}}{16}$．

点评 本题考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算以及同角三角函数的基本关系，解题过程中要注意角的范围，属于中档题．