题目内容

1．棱长均为4的三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A．$\frac{8}{3}π$B．6πC．16πD．24π

分析 正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．

解答 解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同．
∵正四面体的棱长为4，∴正方体的棱长是2$\sqrt{2}$，
又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，
∴2R=$2\sqrt{2}×\sqrt{3}$，∴R=$\sqrt{6}$，球的表面积为4π（$\sqrt{6}$）2=24π．
故选：D．

点评 巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化．若已知正四面体V-ABC的棱长为a，求外接球的半径，可以构造出一个球的内接正方体，再应用对角线长等于球的直径可求得．

练习册系列答案
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11．如图，在三棱锥A-BCD中，△ACD与△BCD是全等的等腰三角形，且平面ACD⊥平面BCD，AB=2CD=4，则该三棱锥的外接球的表面积为$\frac{65}{4}π$．
12．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）
9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（　　）
A．7B．9C．11D．13
16．设数列{an}的前n项和是Sn，且满足a1=$\frac{1}{2}$，Sn=n2an，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）若对任意的n∈N*，不等式2nk+7≥$\frac{1}{1-{S}_{n}}$恒成立，求实数k的取值范围．
6．如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PCD⊥底面ABCD，且PC=PD=a．
（1）求证：PD⊥BC；
（2）当a的值为多少时满足PC⊥平面PAD？并求出此时该四棱锥P-ABCD的体积．
13．已知正实数a，x，y，满足a≠1且ax•a4y=a，则x•y的最大值为$\frac{1}{16}$．
10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，圆C2的极坐标方程为$ρ=4cos（θ+\frac{π}{6}）$，已知C1与C2交于A、B两点，其中点B（xB，yB）位于第一象限．
（Ⅰ）求点A和点B的极坐标；
（Ⅱ）设圆C1的圆心为C1，点P是直线BC1上的动点，且满足$\overrightarrow{BP}=m\overrightarrow{B{C_1}}$，若直线C1P的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}λ\\ y=1+\frac{1}{2}λ\end{array}$（λ为参数）的动点，则m：λ的值为多少？
12．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，45中，x等于13．

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