Question

5．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P是椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°，△PF₁F₂的面积为2$\sqrt{3}$，则椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$．

Answer 1

分析 由题意可得a²-b²=c²=3，|PF₁|•|PF₂|=8．再根据椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，再利用余弦定理求得a² 的值，可得b² 的值，从而得到要求的椭圆的方程．

解答 解：由题意可得c=$\sqrt{3}$，∴a²-b²=c²=3．
由∠F₁PF₂=60°，△PF₁F₂的面积为2$\sqrt{3}$，可得$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|•sin∠F₁PF₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$|PF₁|•|PF₂|=2$\sqrt{3}$，
∴|PF₁|•|PF₂|=8．
再根据椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a．
再利用余弦定理可得4c²=12=${{PF}_{1}}^{2}$+${{PF}_{2}}^{2}$-2PF₁•PF₂•cos60°=${{（PF}_{1}{+PF}_{2}）}^{2}$-3PF₁•PF₂=4a²-3×8，
求得a²=9，∴b²=6，
故要求的椭圆的方程为 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$，
故答案为：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$．

点评 本题主要考查余弦定理，椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．