Question

2．如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PCD⊥底面ABCD，且PC=PD=a．
（1）求证：PD⊥BC；
（2）若二面角A-PC-B的大小为$\frac{π}{6}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）通过面面垂直的性质定理可得BC⊥CD，利用线面垂直的判定定理即得结论；
（2）取CD的中点为O，连接OP，以D为原点建立空间坐标系，通过平面PBC的法向量与平面PAC的法向量的夹角的余弦值为$cos\frac{π}{6}$，计算即可．

解答 （1）证明：∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，∴BC⊥CD，
又∵BC?平面ABCD，∴BC⊥平面PCD，
∵PD?平面ABCD，∴PD⊥BC；
（2）解：取CD的中点为O，连接OP，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PO?平面PCD，
∴PO⊥CD，∴PO⊥平面ABCD，
以D为原点、射线DA方向为x轴、射线DC方向为y轴、平行于PO的方向为z轴建立空间坐标系，
设PO=h，则A（2，0，0），P（0，1，h），C（0，2，0），B（2，2，0），
∴平面PBC的法向量为（0，h，1），平面PAC的法向量为（h，h，1），
∴$cos\frac{π}{6}$=$\frac{1+{h}^{2}}{\sqrt{1+{h}^{2}}•\sqrt{1+2{h}^{2}}}$，解得h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查空间中线线垂直的判定，考查二面角的大小，注意解题方法的积累，属于中档题．