题目内容
【题目】若圆C1:x2+y2=m与圆C2:x2+y2﹣6x﹣8y+16=0外切. (Ⅰ)求实数m的值;
(Ⅱ)若圆C1与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,P为第三象限内一点,且点P在圆C1上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.
【答案】解:(Ⅰ)圆C1的圆心坐标(0,0),半径为 (m>0),
圆C2的圆心坐标(3,4),半径为3,圆心距为:5,
又两圆外切,得 ,解得m=4.
(Ⅱ)由题易得点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,2),圆C1:x2+y2=4,
设P点的坐标为(x0,y0),x0,y0∈(﹣2,0).
由题意,得点M的坐标为(0, ),点N的坐标为( ,0),
四边形ABNM的面积S= |AN||BM|= =| |=| |,
由点P在圆C1上,得x02+y02=4,
∴四边形ABNM的面积S= ,
∴四边形ABNM的面积为定值4.
【解析】(Ⅰ)求出圆的圆心坐标,利用相切列出方程,即可求实数m的值;(Ⅱ)求出点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,2),设P点的坐标为(x0,y0),推出点M的坐标为(0, ),点N的坐标为( ,0),表示出四边形ABNM的面积,利用点P在圆C1上,得x02+y02=4,化简求解即可.
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