Question

【题目】已知点A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆C： （a＞b＞0）上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）P是线段AB上的点，直线y= x+m（m≥0）交椭圆C于M、N两点，若△MNP是斜边长为 的直角三角形，求直线MN的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C： （a＞b＞0）焦点在x轴上，由点A（﹣2，0），B（0，1），
则a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程： ；
（Ⅱ）设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
则 ，消去y，整理得 x2+mx﹣1=0，
则△=2﹣m2＞0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，
则丨MN丨= 丨x1﹣x2丨= ，
① 当MN为斜边时， = ，解得：m=0，
满足△＞0，
此时直线MN为直径的圆方程为x2+y2= ，
点A（﹣2，0）B（0，1）分别在圆外和圆内，即在线段AB上存在点P．
此时直线MN的方程诶y= x，满足题意，
②当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d= 丨m﹣1丨，
∴d2+丨MN丨2= 丨m﹣1丨2+（10﹣5m2）=10，
即21m2+8m﹣4=0，
解得：m= ，m=﹣ （舍），
由△＞0，则m= ，
过点A作直线MN：y= x+ 的垂线，可得满足坐标为（﹣ ，﹣ ），垂足在椭圆外，
即在线段AB上存在点P，
∴直线MN的方程为y= x+ ，符合题意，
综上可知：直线MN的方程为：y= x或y= x+ ．
【解析】（Ⅰ）由直线可知：椭圆的焦点在x轴上，又过点A，B，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，分类，当MN为斜边时， = ，即可求得m=0，满足题意，当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d= 丨m﹣1丨，利用勾股定理即可求得m的值，求得直线方程．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．