题目内容
【题目】设三角形的三边长分别为3,4,5，P是三角形内的一点，则点P到这个三角形三边的距离的积的最大值是________.
【答案】
【解析】
由勾股定理的逆定理推知该三角形为直角三角形．如图，将△ABC的面积转化为三个三角形的面积之和的形式，根据题意列出不等式，通过解不等式求得答案即可．
如图，∵三角形三边长为3，4，5，
∴32+42=52，
∴△ABC是直角三角形．
设P到长度为3，4，5的三角形三边的距离分别是 x，y，z，三角形的面积为S．
则S=
（3x+4y+5z）=×3×4，即3x+4y+5z=12，
∵12=3x+4y+5z≥3×
，（当且仅当3x=4y=5z=4时等号成立），
∴xyz≤．
∴P到这三角形三边距离乘积的最大值是．
故答案为.
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