题目内容
【题目】在等腰梯形ABCD中,E、F分别是CD、AB的中点,CD=2,AB=4,AD=BC=.沿EF将梯形AFED折起,使得∠AFB=60°,如图.
(1)若G为FB的中点,求证:AG⊥平面BCEF;
(2)求二面角C-AB-F的正切值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)根据平面几何知识在空间几何体中可证得AG⊥FB,同时可得EF⊥平面ABF,进而得AG⊥EF,于是可得AG⊥平面BCEF.(2)根据二面角平面角的定义并结合三垂线法作出二面角的平面角,再通过解三角形得到所求的正切值.
(1)因为AF=BF,∠AFB=60°,
所以△AFB为等边三角形.
又G为FB的中点,
所以AG⊥FB.
在等腰梯形ABCD中,E、F分别是CD、AB的中点,
所以EF⊥AB.
于是EF⊥AF,EF⊥BF,
又,
所以EF⊥平面ABF,
因为平面ABF,
所以AG⊥EF.
又,
所以AG⊥平面BCEF.
(2)如图,连接CG,
因为在等腰梯形ABCD中,CD=2,AB=4,E、F分别是CD、AB中点,G为FB的中点,
所以EC=FG=BG=1,
从而CG∥EF.
因为EF⊥平面ABF,
所以CG⊥平面ABF.
过点G作GH⊥AB于H,连结CH,
由三垂线定理可得CH⊥AB,
所以∠CHG为二面角C-AB-F的平面角.
在Rt△BHG中,BG=1,∠GBH=60°,
所以GH=.
在Rt△CGB中,CG⊥BG,BG=1,BC=,
所以CG=1.
在Rt△CGH中,可得tan∠CHG,
所以二面角C-AB-F的正切值为.
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