Question

【题目】已知值域为[﹣1，+∞）的二次函数满足f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），且方程f（x）=0的两个实根x1 ， x2满足|x1﹣x2|=2．
（1）求f（x）的表达式；
（2）函数g（x）=f（x）﹣kx在区间[﹣1，2]内的最大值为f（2），最小值为f（﹣1），求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），可得f（x）的图象关于x=﹣1对称，
∴设f（x）=a（x+1）2+h=ax2+2ax+a+h，
∵函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），可得h=﹣1，
根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣2，x1 x2=1+，
∴x1﹣x2==2，解得：a=﹣h=1，
∴f（x）=x2+2x；
（2）由题意得函数g（x）在区间[﹣1，2]递增，
又g（x）=f（x）﹣kx=x2﹣（k﹣2）x=，
∴≤﹣1，即k≤0，
综上：k≤0．
【解析】（1）先求出函数的对称轴，根据根与系数的关系可得二次项系数，从而求出f（x）的表达式；
（2）根据g（x）的单调性判断出函数的对称轴，从而求出k的范围即可。