题目内容
【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,离心率为
,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于
两点,
点位于第一象限,
是椭圆上位于直线
两侧的动点.
(i)若直线的斜率为
,求四边形
面积的最大值;
(ii)当点运动时,满足
,问直线
的斜率是否为定值,请说明理由.
【答案】(I);(Ⅱ)(i)
;(ii)
的斜率为定值
.
【解析】
试题(I)设椭圆的方程为
,由条件利用椭圆的性质求得
和
的值,可得椭圆
的方程.
(II)(i)设的方程为
,代入椭圆
的方程化简,由△>0,求得
的范围,再利用利用韦达定理可得
以及
的值.再求得
的坐标,根据四边形
的面积
,计算求得结果.
(ii)当时,C、
的斜率之和等于零,
的方程为
,把它代入椭圆
的方程化简求得
.再把直线
的方程椭圆
的方程化简求得
的值,可得
以及
的值,从而求得
的斜率
的值.
试题解析:设椭圆的方程为
,由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点
,
.
再根据离心率,求得
,∴椭圆C的方程为
.
(Ⅱ)(i)设,
的方程为
,代入椭圆
的方程化简可得
,由
,求得
.
利用韦达定理可得,
.
在中,令
求得
,∴四边形
的面积
,
故当时,四边形
的面积
取得最小值为4.
(ii)当时,
、
的斜率之和等于零,设
的斜率为
,则
的斜率为
,
的方程为
,把它代入椭圆
的方程化简可得
,所以
.
同理可得直线的方程为
,
,
的斜率
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】学校某文具商店经营某种文具,商店每销售一件该文具可获利3元,若供大于求则削价处理,每处理一件文具亏损1元;若供不应求,则可以从外部调剂供应,此时每件文具仅获利2元.为了了解市场需求的情况,经销商统计了去年一年(52周)的销售情况.
销售量(件) | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
周数 | 2 | 4 | 8 | 13 | 13 | 8 | 4 |
以去年每周的销售量的频率为今年每周市场需求量的概率.
(1)要使进货量不超过市场需求量的概率大于0.5,问进货量的最大值是多少?
(2)如果今年的周进货量为14,写出周利润Y的分布列;
(3)如果以周利润的期望值为考虑问题的依据,今年的周进货量定为多少合适?